Pseudorühmoid
Pseudorühmoid ehk osaline rühmoid (ka pseudogrupoid, osaline grupoid, pseudomagma, osaline magma, poolrühmoid, poolgrupoid) on algebraline struktuur (täpsemalt osaline algebra) , mis koosneb hulgast ja sellel defineeritud osalisest binaarsest algebralisest tehtest (osalisest kujutusest ).
See on rühmoidi mõiste üldistus; erinevus on ainult selles, et rühmoidi puhul ei tohi tehe olla osaline, pseudorühmoidi puhul aga tohib.
Nagu ka rühmoidi puhul, peab tehe olema kinnine. Midagi muud ei nõuta.
Alternatiivne definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]
Pseudorühmoidi võib defineerida ka hulgana koos teist liiki välise binaarse tehtega [1].
Pseudorühmoidi , mis on defineeritud osalise kujutuse kaudu, saab muuta ekvivalentseks teist liiki välise binaarse tehtega pseudorühmoidiks , defineerides hulga , kus , ja defineerides , kui , kus on osalise kujutuse määramispiirkond, ja vastasel juhtumil defineerides .
Teistpidi, teist liiki välise binaarse tehtega pseudorühmoidi saab muuta ekvivalentseks osalise tehte kaudu defineeritud pseudorühmoidiks , jättes kohal defineerimata, kui , ning vastasel juhul defineerides .
Seega on need kaks definitsiooni teatud mõttes ekvivalentsed.
Alampseudorühmoid[muuda | muuda lähteteksti]
Analoogselt rühmoidi alamrühmoidiga ja rühma alamrühmaga saab defineerida pseudorühmoidi alampseudorühmoidi, ent siin tuleb eraldi vaadelda tehte määramispiirkonda.
Olgu pseudorühmoid. Pseudorühmoidi nimetatakse pseudorühmoidi alampseudorühmoidiks, kui ja , st tehe on tehte ahend tehte määramispiirkonnale .
Teiste sõnadega, pseudorühmoid on pseudorühmoidi alampseudorühmoid, kui ja
ja
- kõikide korral.
Rühmoidil võib olla alampseudorühmoid, mis ei ole alamrühmoid, nimelt juhul, kui
- .
Näide[muuda | muuda lähteteksti]
Olgu ja pseudorühmoidid, kus , ing tehete ja Cayley tabelid on
|
|
Siis pseudorühmoid on pseudorühmoidi alampseudorühmoid.
Märkused:
- Tehte tulem võiks olla suvaline (see võiks ka olla , või defineerimata), sest .
- Kui oleks nii, et , siis pseudorühmoid ei oleks pseudorühmoidi alampseudorühmoid, sest , nii et ei kehtiks .
Kinnised alampseudorühmoidid ning pseudorühmoidide laiendid, täielikud laiendid ja lahtised laiendid[muuda | muuda lähteteksti]
Olgu pseudorühmoid ja selle alampseudorühmoid.
- Alampseudorühmoidi nimetatakse kinniseks pseudorühmoidis [2]), kui juhul kui ja ja , siis ja . Näide:
|
|
- Pseudorühmoidi nimetatakse oma alampseudorühmoidi laiendiks[2]), kui juhul kui ja , siis , ja juhul kui , siis . Näide:
|
|
Artikli kirjutamine on selles kohas pooleli jäänud. Jätkamine on kõigile lahkesti lubatud. |
Näited[muuda | muuda lähteteksti]
- Kõik rühmoidid on pseudorühmoidid.
- Kui võtta naturaalarvude hulgal tehteks lahutamine või jagamine ning defineerida see ainult nende naturaalarvude järjestatud paaride jaoks, mille korral vahe või vastavalt jagatis on naturaalarv, saame mitteassotsiatiivse mittekommutatiivse pseudorühmoidi.
- Väikese kategooria morfismide klass on hulk, mis koos morfismide korrutamisega moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi. Enamasti saab pseudorühmoidi moodustada ka morfismide klassil.
- Mis tahes kujutuste hulk S koos kujutuste korrutamisega moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi
- Formaalne keel koos konkatenatsiooniga moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi. Tähestiku Kleene kate on poolrühm (isegi monoid), sest konkatenatsioon on sellel kinnine tehe. Formaalne keel on aga selle suvaline alamhulk, millel konkatenatsioon üldjuhul ei ole kinnine.
Kirjandus[muuda | muuda lähteteksti]
- Yoshifumi Inui, François Le Gall. Quantum Property Testing of Group Solvability, lk 2.
Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]
Vikisõnastiku artikkel: pseudorühmoid |
- ↑ Yoshifumi Inui, François Le Gall. Quantum Property Testing of Group Solvability, lk 2, definitsioon § 2.1 alguses. – Quantum Physics.
- ↑ 2,0 2,1 Richard Hubert Bruck. A survey of binary systems. – P. J. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, kd 20 3. trükk, Springer Verlag: Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 978-3-662-42837-5.