Kasutaja:Margusmartsepp/kasutajaartiklid/Integraal

Funktsiooni integraal on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid, ning tegemist on terminiga, mis üldistab integraale. Funktsiooni integraali leidmise protsessi kutsutakse integreerimiseks.

Definitsioonid

Riemanni integraalid

Määratud integraal lõigul $(x_{1};x_{2})$

Riemanni integraalsumma ligikaudne arvväärtus leitakse ristkülikute summana.

Riemanni summa koondub, kui osalõike vähendada ükskõik mis viisil.

Riemanni geomeetrilise definitsiooni järgi - täidetakse graafi alune ala (funktsiooni ja x-telje vaheline ala) lõpmata paljude lõpmata kitsa laiusega ristkülikutega, mille pindalade summa piirväärtus on integraali ligikaudseks väärtuseks.

Funktsioon $\,f(x)$ on integreeruv, kui ta on pidev ja tõkestatud kinnisel vahemikul (e. integreerimislõigus ). $S_{\Pi }(x)={\underset {\text{Riemanni notatsioon}}{\left[\lim _{\underset {{\underset {i}{max}}\,\Delta x_{i}\to 0}{n\to \infty }}\,\left(\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}\right){\text{, kus }}\Delta x_{i}={\frac {x_{b}-x_{a}}{n}}\right]}}\equiv$${\underset {\text{Leibnizi notatsioon}}{\int _{x_{a}}^{x_{b}}f(x)\,dx}}$

Kus kehtib alljärgnev:

• konkreetse ristküliku alus on $\,\Delta x_{i}$
• konkreetse ristküliku kõrgus on $\,f(\xi _{i})$
• ristkülikute kogus on $\,n$
• ${\frac {dy}{dx}}=f(x)$ ja $\Delta x\approx dx$
• $\,[x_{a};x_{b}]\to \mathbb {R}$

Integreerimislõiguga integraali kutsutakse määratud integraaliks, üldistatud ehk ilma lõiguta integraali aga määramata integraaliks.

Osad funktsioonid ei lähene ühele kindlale väärtusele ja nende puhul ei saa Riemanni järgi integraalsummat leida.

Määratud integraal

Määratud integraal (Riemanni integraali 1. klass), tuntud ka kui kumulatiivne summa ja kõvera alune pindala.

$\int _{x_{a}}^{x_{b}}f(x)\,dx{\overset {\text{integreerimine}}{=}}F(x){\Big |}_{x_{a}}^{x_{b}}$

On integraal, mille funktsioon $\,f$ reaalarvu tüüpi muutuja $\,x$ korral on integreeruv kinnisel vahemikul $\,[x_{a};x_{b}]$, integreerides muutuja $\,x$'i järgi ja on võrdne funktsiooni $\,f$ algfunktsioon'iga $\,F$ rajal $x_{a}\to x_{b}$, mis on võrdne $\,F$ väärtuste vahega kohtadel $\,x_{b}$ ja $\,x_{a}$. Määratud integraali ligikaudset väärtust saab arvutada vaid mitte päratutele integraalidele.

 Pikemalt artiklis Määratud integraal

 Pikemalt artiklis Päratu integraal

 Pikemalt artiklis Newton-Leibnizi valem

Määramata integraal

Määramata integraal (Riemann'i integraali 2. klass), tuntud ka kui tuletise pöördfunktsioon.

$\int f(x)dx=\Phi (x)=F(x)+C.$

 Pikemalt artiklis Määramata integraal

Fundamentaalteoreemid

• Fundamentaalteoreem 1

  $\,\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

• Fundamentaalteoreem 2

  $\,{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

Riemanni kordsed integraalid

Green'i valem

Pinna integraal

${\underset {S}{\oint }}f(xyz)\,dS=\int _{x_{a}}^{x_{b}}\int _{y_{a}}^{y_{b}}f(x,y,f_{z}(x,y)){\sqrt {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dy\,dx$

 Pikemalt artiklis Pinna integraal

Lebesgue integraal

Lebesgue’i integraal

${\mathcal {L}}_{[x_{a};x_{b}]}(x)=\int _{[x_{a};x_{b}]}f(x)\,dm(x)=\int _{x_{a}}^{x_{b}}f(x)\,dx$

---

Omadused & tõestused

Järgnevate omaduste tõestus, on saadaval:

• Lamar University[ EN ]
• Tallinna Tehnikaülikool[ ET ] Määratud integraal
• Tallinna Tehnikaülikool[ ET ] Määramata integraal

Määramata integraal

Kuna kehtivad homogeensus ja aditiivsus, saame järeldada, et määramata integraal on lineaarsuse omadus.

Tuletise reeglitest olenevalt on funktsiooni ja integreerimiskonstandi tuletis 0:

$\left[f(x)+C\right]'=f'(x)$

---

1. Funktsiooni tuletise integraal on algfunktsioon ja suvaline konstant $C$ (integreerimiskonstant).

   $\int f'(x)\,dx=f(x)+C$

   $\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)$

2. Funktsiooni $\,f(x)$ muutuja kordaja reaalarvu $\,a$ saab integraalist välja tuua.

   $\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx$

3. Summa ja vahe korral on võimalik funktsioonid üksteisest lahti harutada kaheks integraaliks.

   $\int (f(x)\pm g(x))\,dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

Määratud integraal

Alljärgnev eeldab, et funktsioonid $\,f(x)$ ja $\,g(x)$ on ühtlaselt pidevad lõigul $[a;b]{\text{, kus }}a<b{\text{ ja }}a,b\in \mathbb {R}$, ning antud lõigul on lokaalne maksimum $\,M$ ja lokaalne miinimum $\,m$.

---

1. Funktsiooni $\,f(x)$ määratud integraal rajades $\,a$-st $\,b$-ni on võrdne algfunktsiooni väärtuse kohal b ja algfunktsiooni väärtuse kohal a vahega.
2. Kui vahetada määratud integraali rajad, muutub märk integraali ees vastupidiseks.
3. Kui funktsiooni lõigu pikkus on 0, ehk $\,a=b$, siis integraali väärtus on 0.

   $\int _{x_{a}}^{x_{b}}f(x)\,dx{\overset {\text{Newton-Leibniz}}{\rightarrow }}\left\{{\begin{array}{cc}F(x_{b})-F(x_{a})&{\text{, kus }}x_{a}<x_{b}\\F(x_{a})-F(x_{b})&{\text{, kus }}x_{a}>x_{b}\\0&{\text{, kus }}x_{a}=x_{b}\\\end{array}}\right.$

4. Funktsiooni $\,f(x)$ muutuja kordaja reaalarvu $\,a$ saab integraali märgi alt välja tuua.

   $\int _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

5. Kahe funktsiooni summa või vahe määratud integraal on võrdne nende funktsioonide summa või vahe määratud integraalidega.

   $\int _{a}^{b}(f(x)\pm g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)dx\pm \int _{a}^{b}g(x)dx$

6. Määratud integraali lõiku saab poolitada lõikudeks. See on tuntud, kui aditiivsuse omadus.

   $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx{\text{, kus }}a<c<b$

7. Kui muutujat mille järgi integreeritakse ei leidu, on tegemist konstandiga, nimetagem seda $\,c$. Määratud integraali puhul lihtsutub see:

   $\int _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

8. Funktsiooni $\,f(x)$ määratud integraali absoluutväärtus on väiksem või võrdne selle funktsiooni absoluutväärtuse määratud integraalist.

   $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx$

9. ${\text{Kui }}f(x)\geq g(x){\text{ , kus }}a\leq x\leq b{\text{, siis }}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq \int _{b}^{a}g(x)\,dx$
10. ${\text{Kui }}f(x)\geq 0{\text{ , kus }}a\leq x\leq b{\text{, siis }}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$
11. ${\text{Kui }}m\leq f(x)\leq M{\text{ , kus }}a\leq x\leq b{\text{, siis }}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)$

Integreerimise meetodid

Asendusvõte

...

Valemid ja joonised

Alljärgnevalt on eeldatud, et:

• $a>0{\text{, ning }}a\in \mathbb {R}$
• $C$ on integreerimiskonstant

Määramata integraalid

Triviaalsed integraalid

Integaalide tabeli koostamisel on kasutatud elementaarfunktsioonide tuletiseid.

1. $\int kx^{a}\,dx=k\left\{{\begin{array}{cc}{\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C,&{\text{kui }}a\in \mathbb {R} ,a\neq -1\\\ln |x|+C,&{\text{kui }}a=-1\end{array}}\right.\to \left\{{\begin{array}{c}\int {\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=2{\sqrt {x}}+C\\\int \,dx=x+C\\\int {\frac {1}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {1}{x}}+C\\\end{array}}\right.$
2. $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{ln(a)}}+C{\text{, kus }}a>0,a\neq 1\to \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
3. $\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C$
4. $\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$
5. $\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C$
6. $\int {\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\,dx=\tan(x)+C$
7. $\int {\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}\,dx=-\cot(x)+C$
8. $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin(x)+C=-\arccos(x)+C$
9. $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan(x)+C=-\operatorname {arccot}(x)+C$
10. $\int {\frac {1}{\sqrt {y^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arcsin \left({\frac {x}{y}}\right)+C$
11. $\int {\frac {1}{y^{2}+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{y}}\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)+C$

Trigonomeetrilised funktsioonid

Lisaks eelnimetatule:

1. $\int \sin(A)\cos(B)\,dx={\frac {\sin(A-B)+\sin(A+B)}{2}}+C$
2. $\int \sin(A)\sin(B)\,dx={\frac {\sin(A-B)-\cos(A+B)}{2}}+C$
3. $\int \cos(A)\cos(B)\,dx={\frac {\cos(A-B)+\cos(A+B)}{2}}+C$
4. $\int \sec(x)\tan(x)\,dx=\sec(x)+C$
5. $\int \csc(x)\cot(x)\,dx=-\csc(x)+C$
6. $\int \tan(x)\,dx=ln(-\sec(x))+C$
7. $\int \cot(x)\,dx=ln(\sin(x))+C$
8. $\int \sec(x)\,dx=ln(\sec(x)+\tan(x))+C$
9. $\int \csc(x)\,dx=ln(\csc(x)-\cot(x))+C$
10. $\int \sin ^{2}(x)\,dx={\frac {x}{2}}-{\frac {\sin(2x)}{4}}+C$
11. $\int \cos ^{2}(x)\,dx={\frac {x}{2}}+{\frac {\sin(2x)}{4}}+C$
12. $\int \tan ^{2}(x)\,dx=\tan(x)-x+C$
13. $\int \cot ^{2}(x)\,dx=-\cot(x)-x+C$
14. $\int \sec ^{2}(x)\,dx=\tan(x)+C$
15. $\int \csc ^{2}(x)\,dx=-\cot(x)+C$

Hüperboolsed funktsioonid

1. $\int \cosh(x)\,dx=\sinh(x)+C$
2. $\int \sinh(x)\,dx=\cosh(x)+C$
3. $\int \tanh(x)\,dx=\ln(\cosh(x))+C$
4. $\int \coth(x)\,dx=\ln(\sinh(x))+C$
5. $\int {\frac {1}{\sinh ^{2}(x)}}\,dx=-\coth(x)+C$
6. $\int {\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\,dx=\tanh(x)+C$
7. $\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx=\sinh ^{-1}(x)+C$
8. $\int {\frac {1}{\sqrt {-1+x^{2}}}}\,dx=\cosh ^{-1}(x)+C$
9. $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\left\{{\begin{array}{cc}\coth ^{-1}(x)+C&{\text{, kui }}x\in (-1;1)\\\tanh ^{-1}(x)+C&{\text{, kui }}x\in \mathbb {R} {\text{ ilma }}[-1;1]\end{array}}\right.$

Mitte-elementaarsed integraalid

Paljudel juhtudel ei ole $\int f(x)\,dx$ elementaarfunktsioonide kaudu lõplikult väljendatav. Triviaalseimad näited on integraal geomeetrilise nurga $\,x$ jagatis $\,x$'ga ja 1 jagatis naturaallogaritmiga $\,x$ist. Antud juhtudel eksisteerib vastus komplekstasandil, ehk lisandub imaginaartelg.

integraalsiinus

$si(x)=\int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx$

integraalkoosinus

$ci(x)=\int {\frac {\cos(x)}{x}}\,dx$

integraallogaritm

$li(x)=\int {\frac {1}{\ln(x)}}\,dx$

Geomeetrlise nurga integreerimine

Hüperpoolsete ja trigonomeetriliste funktsioonite integreerimisel kerkib palju sarnaseid probleeme. Sageli on otstarbekas enne hüperpoolsete funktsioonide integreerimist teisendada integreeritavat avaldist, kasutades mõnda järgnevatest valemitest.

Trigonomeetrilised valemid

Järgnevate valemite tõestuse video, on saadaval: khanacadamy [ EN ]

1. ${\frac {}{}}\sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \sin(B)\cos(A)$
2. ${\frac {}{}}\cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(B)\sin(A)$
3. ${\frac {}{}}2\sin(A)\cos(B)=\sin(A-B)+\sin(A+B)$
4. ${\frac {}{}}2\sin(A)\sin(B)=\cos(A-B)-\cos(A+B)$
5. ${\frac {}{}}2\cos(A)\cos(B)=\cos(A-B)+\cos(A+B)$
6. ${\frac {}{}}2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)$
7. ${\frac {}{}}2\sin ^{2}(x)=1-\cos(2x)$
8. ${\frac {}{}}2\cos ^{2}(x)=1+\cos(2x)$
9. ${\frac {}{}}\cos(2x)=\cos(x)^{2}-\sin(x)^{2}$
10. ${\frac {}{}}\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)$

 Pikemalt artiklis Trigonomeetrilised_funktsioonid

Hüperboolsed valemid

1. ${\frac {}{}}\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$
2. ${\frac {}{}}\cosh ^{2}(x)+\sinh ^{2}(x)=\cosh(2x)$
3. ${\frac {}{}}2\sinh ^{2}(x)=\cosh(2x)-1$
4. ${\frac {}{}}2\cosh ^{2}(x)=\cosh(2x)+1$
5. ${\frac {}{}}2\sinh(x)\cosh(x)=\sinh(2x)$
6. ${\frac {}{}}2\sinh(A)\cosh(B)=\sinh(A+B)+\sinh(A-B)$
7. ${\frac {}{}}2\cosh(A)\cosh(B)=\cosh(A+B)+\cosh(A-B)$
8. ${\frac {}{}}2\sinh(A)\sinh(B)=\cosh(A+B)-\cosh(A-B)$

 Pikemalt artiklis Hüperboolsed_funktsioonid

• sinh(x)

1. $\sinh(x)={\frac {1}{{\text{csch}}(x)}}$
2. $\sinh(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$
3. $\sinh(x)=-{\frac {i}{\csc(ix)}}$
4. $\sinh(x)=i\cos \left({\frac {\pi }{2}}+ix\right)$
5. $\sinh(x)=-\left(i\cosh \left(x+{\frac {i\pi }{2}}\right)\right)$
6. $\sinh(x)=i\cosh \left(-x+{\frac {i\pi }{2}}\right)$
7. $\sinh(x)=-\left(i\cos \left({\frac {\pi }{2}}-ix\right)\right)$
8. $\sinh(x)=-{\frac {i}{\sec \left({\frac {\pi }{2}}-ix\right)}}$

 Pikemalt artiklis Hüperboolne_siinus

• cosh(x)

1. $\cosh(x)={\frac {}{}}\cos(ix)$
2. $\cosh(x)={\frac {}{}}\cos(-ix)$
3. $\cosh(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{-x}+e^{x}\right)$
4. $\cosh(x)={\frac {1}{\sec(ix)}}$
5. $\cosh(x)={\frac {1}{\csc \left({\frac {\pi }{2}}+ix\right)}}$
6. $\cosh(x)={\frac {1}{\csc \left({\frac {\pi }{2}}-ix\right)}}$
7. $\cosh(x)=-{\frac {i}{{\text{csch}}\left(x+{\frac {i\pi }{2}}\right)}}$
8. $\cosh(x)=-{\frac {i}{{\text{csch}}\left(-x+{\frac {i\pi }{2}}\right)}}$

 Pikemalt artiklis Hüperboolne_koosiinus

• coth(x)

1. ${\frac {}{}}\coth(x)=i\cot(ix)$
2. ${\frac {}{}}\coth(x)=-(i\cot(-ix))$
3. $\coth(x)={\frac {2}{e^{2x}-1}}+1$
4. $\coth(x)={\frac {i}{\tan(ix)}}$
5. $\coth(x)=\tanh \left(x-{\frac {1}{2}}(i\pi )\right)$
6. $\coth(x)=i\tan \left({\frac {\pi }{2}}-ix\right)$
7. $\coth(x)=-\left(i\tan \left({\frac {\pi }{2}}+ix\right)\right)$
8. $\coth(x)={\frac {e^{-x}+e^{x}}{e^{x}-e^{-x}}}$

 Pikemalt artiklis Hüperboolne_kootangens

• tanh(x)

1. $\tanh(x)={\frac {1}{\coth(x)}}$
2. $\tanh(x)={\frac {2}{e^{-2x}+1}}-1$
3. $\tanh(x)=-{\frac {i}{\cot(ix)}}$
4. $\tanh(x)=\coth \left(x-{\frac {1}{2}}(i\pi )\right)$
5. $\tanh(x)=i\cot \left({\frac {\pi }{2}}+ix\right)$
6. $\tanh(x)=-\coth \left(-x+{\frac {i\pi }{2}}\right)$
7. $\tanh(x)=-\left(i\cot \left({\frac {\pi }{2}}-ix\right)\right)$
8. $\tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{-x}+e^{x}}}$

 Pikemalt artiklis Hüperboolne_tangens

Joonised

Mitte-elementaarsed integraalid

• 
  Integraalkoosinus lõigul [-40;40]
• 
  Integraalkoosinus lõigul [-4;4]
• 
  Integraalsiinus lõigul [-40;40]
• 
  Integraalsiinus lõigul [-4;4]

Geomeetrlise nurgad

Trigonomeetriliste funktsioonide standardkuju joonised

• 
  Koosinus lõigul [-40;40]
• 
  Koosinus lõigul [-4;4]
• 
  Kootangens lõigul [-40;40]
• 
  Kootangens lõigul [-4;4]
• 
  Koosekanss lõigul [-40;40]
• 
  Koosekanss lõigul [-4;4]
• 
  Seekans lõigul [-40;40]
• 
  Seekans lõigul [-4;4]
• 
  Siinus lõigul [-40;40]
• 
  Siinus lõigul [-4;4]
• 
  Tangens lõigul [-40;40]
• 
  Tangens lõigul [-4;4]

Arkusfunktsioonide standardkuju joonised

• 
  Arkuskoosinus lõigul [-40;40]
• 
  Arkuskoosinus lõigul [-4;4]
• 
  Arkuskootangens lõigul [-40;40]
• 
  Arkuskootangens lõigul [-4;4]
• 
  Arkuskoosekanss lõigul [-40;40]
• 
  Arkuskoosekanss lõigul [-4;4]
• 
  Arkusseekans lõigul [-40;40]
• 
  Arkusseekans lõigul [-4;4]
• 
  Arkussiinus lõigul [-40;40]
• 
  Arkussiinus lõigul [-4;4]
• 
  Arkustangens lõigul [-40;40]
• 
  Arkustangens lõigul [-4;4]

Hüperboolsete funktsioonide standardkuju joonised

• 
  Hüperpoolne koosinus lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne koosinus lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne kootangens lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne kootangens lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne koosekanss lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne koosekanss lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne seekans lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne seekans lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne siinus lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne siinus lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne tangens lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne tangens lõigul [-4;4]

Areafunktsioonide standardkuju joonised

• 
  Hüperpoolne arkuskoosinus lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne arkuskoosinus lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne arkuskootangens lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne arkuskootangens lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne arkuskoosekanss lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne arkuskoosekanss lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne arkusseekans lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne arkusseekans lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne arkussiinus lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne arkussiinus lõigul [-4;4]
• 
  Hüperpoolne arkustangens lõigul [-40;40]
• 
  Hüperpoolne arkustangens lõigul [-4;4]

Integraali rakendusi

Integraali abil saab leida näiteks:

• funktsiooni ja x-teljega piiratud ala neto pindala. Kui integraali võetakse x'i järgi, siis pindala mis on x-telje peal on positiivne ja x-telje all on negatiivne, st. täispindala saamiseks tuleb integraal alamlõikude summana arvutada, kus negatiivsetest pindaladest tuleb absoluutväärtus võtta.
• Füüsikas kiirendust integreerides aja järgi saab kiiruse
• Füüsikas hetkkiirust integreerides aja järgi saab siirde.

• 
  $\,\tan(x)/x$ lõigul $\,2[-\Pi ;\Pi ]$
• 
  $\,\cos(x)+x/2$ ja $\,-\cos(x)+x$ lõigul $\,2[-\Pi ;\Pi ]$

Materjalid

Vaata ka

• Aditiivsus
• Arkuskoosinus
• Arkuskootangens
• Arkuskootangens
• Arkussiinus
• Homogeensus
• Koosinus
• Kootangens
• Määramata integraal
• Määratud integraal
• Päratu integraal
• Siinus
• Tangens
• Trigonomeetrilised_funktsioonid
• Tuletis

Viited

1. WolframAlpha [EN] Otsingumootor, mis lahendab Mathematica programmeerimiskoodi sh. integraale. Lisaks vastusele luuakse joonis ja nupuvajutusega on võimalik genereerida määramata integraalile lahenduskäik selgitustega - nõnda nagu inimene integraale lahendab.
2. Wolfram Integrator [EN] Võimaldab võhikutel ühekordse määramata integraali vastus leida, integreerides x'i järgi.
3. PatrickJMT [EN] Suur kogus kvaliteetsed video loengud teemade / ülessannete kaupa, sh. integraale, ülikooli matemaatika kursuste kontekstis.
4. KHANACADEMY [EN] Massiivne kogus haridus materjale sisu, sh. integraale. Võimaldab ka veebis ülessannete lahendamist, nende automaatne hindamist ja abi. Võitnud Google: Project 10^100 ja on Bill Gates'i lemmik õpetaja.

Kirjandus

• Tammeraid, Ivar (2001), Matemaatiline analüüs I : Elektrooniline õppevahend (1st ed.), TTÜ Kirjastus, ISBN 9985-59-289-1
• Tammeraid, Ivar (2003), Matemaatiline analüüs II (1st ed.), TTÜ Kirjastus, ISBN 9985-59-366-9
• Strang, Gilbert (1999), Calculus: Online Textbook (1st ed.), Wellesly-Cambridge Press, ISBN 9780961408824